圓周長(zhǎng)公式
創(chuàng)立者：祖沖之(所以國(guó)際上也稱“祖率”)
提出時(shí)間：南北朝
意義：精確計(jì)算圓周長(zhǎng)、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值。也可應(yīng)用于工程師或物理學(xué)家要進(jìn)行較精密的計(jì)算
公式：
歐拉公式(Euler’s Identity)
創(chuàng)立者：萊昂哈德·歐拉
提出時(shí)間：1752年
歐拉公式也被稱為世界上最完美的公式，在數(shù)學(xué)歷史上有很多公式都是歐拉發(fā)現(xiàn)的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個(gè)數(shù)學(xué)分支之中。如：分式里的、復(fù)變函數(shù)論里的、三角形中的、拓?fù)鋵W(xué)里的、初等數(shù)論里的歐拉公式等等。以下舉例：
(1)分式里的歐拉公式：
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
當(dāng)r=0,1時(shí)式子的值為0 當(dāng)r=2時(shí)值為1
當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c
(2)復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式：
e^ix=cosx+isinx，e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.
將公式里的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0. 這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)學(xué)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率∏，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見(jiàn)的0。數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。
(3)三角形中的歐拉公式：
設(shè)r為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d^2=r^2-2rr
(4)拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式：
v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，f是多面體p的面數(shù)，e是多面體p的棱的條數(shù),x(p)是多面體p的歐拉示性數(shù)。
如果p可以同胚于一個(gè)球面(可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上)，那么x(p)=2，如果p同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么x(p)=2-2h。
x(p)叫做p的歐拉示性數(shù)，是拓?fù)洳蛔兞?，就是無(wú)論再怎么經(jīng)過(guò)拓?fù)渥冃我膊粫?huì)改變的量，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。
在多面體中的運(yùn)用:
簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)v、面數(shù)f及棱數(shù)e間有關(guān)系
v+f-e=2
這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。
(5)初等數(shù)論里的歐拉公式：
歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個(gè)數(shù)。n是一個(gè)正整數(shù)。
歐拉證明了下面這個(gè)式子：
如果n的標(biāo)準(zhǔn)素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素?cái)?shù)，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
此外，還有很多著名公式都以歐拉命名哦，它不僅是世界上最偉大十大公式之一，也是數(shù)學(xué)里最令人著迷的公式之一，也是最美的，因?yàn)檫@個(gè)公式的精簡(jiǎn)。它沒(méi)有多余的字符，卻聯(lián)系著幾乎所有的數(shù)學(xué)知識(shí)。
